1.1- Generalidades
Los tornillos, como elementos de sujeción o de unión
entre piezas, constituyen uno de los componentes más utilizados en el
diseño de todo tipo de estructuras y máquinas.
En función de la misión que cumplen, los tornillos se pueden clasificar en tornillos de unión y tornillos de potencia.
Por un lado, los tornillos de unión, los que
comúnmente conocemos, se emplean para unir o asegurar dos o más partes
estructurales de una máquina o estructura, y pueden ser de distintos
tipos:
• tornillos de cabeza
• tornillos prisioneros o de fijación
• pernos
• espárragos, etc.
Por otro lado, los tornillos de potencia, objeto de
este tutorial, son aquellos destinados a la transmisión de potencia y
movimiento, y que generalmente se utilizan para convertir un movimiento
angular o de giro, en un movimiento de traslación o lineal, acompañado
además de una transmisión de esfuerzo.
Los tornillos de potencia se usan en muchas
aplicaciones, como tornillos de avance en máquinas herramientas,
mordazas, gatos mecánicos para elevación de vehículos, prensas y otros
dispositivos de elevación de cargas, máquinas universales de tracción y
compresión, etc.
En este sentido, es muy usual el empleo de mecanismos
constituidos por tornillos de potencia para la elevación o traslado de
cargas, debido a que permiten desarrollar grandes fuerzas a lo largo de
su eje.
- Principio de funcionamiento:
El principio de funcionamiento que rige el mecanismo de los tornillos de potencia es muy sencillo:
Un tornillo puede ser
considerado, de manera simple, que está formado por un cuerpo cilíndrico
(que sería el vástago o la caña del tornillo), sobre el que se enrolla
un plano inclinado formando los filetes de la rosca del tornillo.
Ahora bien, si se dispone de una tuerca enroscada en
el tornillo, al hacer girar el tornillo 360º, la tuerca recorre sobre el
plano inclinado una longitud de circunferencia igual a π·dm siendo dm el diámetro medio de la rosca, y se traslada una distancia p según la dirección axial o longitudinal del tornillo. La distancia longitudinal p recorrida por la tuerca en una sola revolución se llama paso o avance del tornillo, siendo el ángulo de paso (α) el dado por la expresión: α=tan-1(p/π·dm).
Generalmente, los tornillos de potencia trabajan
sometidos a un rozamiento elevado por la fricción continuada entre las
superficies de las roscas de tornillo y tuerca.
Por ello, factores como el desgaste o el calentamiento
excesivo de las superficies van a ser importantes en su diseño, además
de las consideraciones de resistencia puramente mecánica de la
estructura del tornillo.
Así, aparte de las cualidades que han hecho muy
popular el uso de tornillos de potencia, como son la sencillez de su
diseño, bajo costo de fabricación y la posibilidad de su fabricación con
gran exactitud, es el elevado rozamiento y por tanto la baja eficiencia
en la transmisión, lo que constituye una desventaja en su uso.
No obstante, este inconveniente puede ser solventado
en parte con el uso de rodamientos de bolas o collarines, que permiten
disminuir el coeficiente de rozamiento e incrementar la eficiencia del
mecanismo.
1.2- Tipos de roscas
En tornillos de potencia, las roscas más empleadas en
el fileteado del tornillo son la rosca Cuadrada, la rosca ACME y la
rosca Unificada.
A continuación, y de
manera esquemática, las siguientes figuras muestran los tipos de roscas
más empleadas para su visualización.
Aunque la rosca cuadrada es la que posee mayor
rendimiento y eficiencia, se prefiere principalmente la rosca ACME con
ángulo de 29º por el buen ajuste que consigue este tipo de rosca.
Además, otro factor que
influye es que la rosca cuadrada no está normalizada, mientras que tanto
la rosca Acme como la Unificada sí lo están, lo que permite su fácil
construcción mediante todos los procedimientos existentes de
fabricación.
A continuación, se
incluye una tabla que contiene los distintos tipos de roscas, y donde se
incluyen también sus medidas normalizadas para el diámetro exterior
(Dext) y el paso o avance de la rosca:
2- Cálculo de tornillos de potencia
2.1- Ecuaciones de esfuerzos
Una de las aplicaciones más habituales de los tornillos de potencia es la fabricación de mecanismos para la elevación de carga.
En este apartado se van a mostrar las distintas
expresiones matemáticas que se utilizan para calcular el par torsional
necesario para hacer girar al tornillo en la elevación o descenso de una
carga (F).
Para ello, primero es necesario conocer el conjunto de
esfuerzos que actúan sobre el tornillo de potencia. Para el cálculo de
estos esfuerzos se parte de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas que
gobiernan el mecanismo.
A continuación se adjuntan algunos de los parámetros que servirán para definir las características de un tornillo de potencia:
α : ángulo de hélice
λ : ángulo de avance
p : paso o avance del tornillo
dm : diámetro medio del tornillo (también denominado diámetro primitivo)
F : suma de todas las fuerzas axiales que actúan sobre el tornillo (representa la carga a elevar o descender)
P : fuerza necesaria a aplicar al tornillo
para vencer la fuerza de rozamiento y hacer ascender/descender la carga
por el plano inclinado de la rosca del tornillo.
En la siguiente figura de abajo se presenta el caso de
un tornillo de potencia con rosca cuadrada, y que se emplea como
mecanismo para la elevación de carga.
En este caso, es necesario aplicar un par torsional (T)
al tornillo que lo haga girar y consiga elevar axialmente a la carga,
para lo cual debe vencer al rozamiento entre la rosca del tornillo y
tuerca.
El par o momento torsional (T) será igual al producto del esfuerzo P por el radio primitivo (rm = dm/2) del tornillo:
T = P · rm
En este caso, las fuerzas que interactúan en la rosca serán las siguientes:
F : representa la carga a elevar, y es la suma de todas las fuerzas axiales que actúan sobre el tornillo.
P : fuerza necesaria que es necesario
realizar para vencer la fuerza de rozamiento y hacer ascender la carga
por el plano inclinado de la rosca del tornillo.
N : fuerza normal al plano de la hélice del tornillo.
µ·N : representa a la fuerza de rozamiento que es necesario vencer para hacer girar al tornillo.
Se ha representado en la figura (a) anterior las fuerzas F y P
que actúan sobre el vástago del tornillo, mientras que en (b) se
representa en un triángulo, el desarrollo de la hélice o filete de la
rosca en una vuelta completa del tornillo. En dicho triángulo, su base
tiene una longitud de π·dm y una altura de p (paso del tornillo).
Bajo la acción de las fuerzas definida se establecen
las ecuaciones de equilibrio, según las dos direcciones del plano
(horizontal y vertical), resultando ser las siguientes:
• En dirección horizontal: P - N·sen(α) - µ·N·cos(α) = 0
• En dirección vertical: F + µ·N·sen(α) - N·cos(α) = 0
De donde se obtiene que el esfuerzo normal (N), que actúa en dirección normal al plano de la hélice del tornillo resulta ser:
N =
|
F
|
cos(α) - μ · sen(α)
|
El esfuerzo P, que representa la fuerza
necesaria que habrá que aplicar al tornillo para hacerlo girar y
producir la elevación de la carga en dirección axial, se determinará a
partir de la siguiente expresión:
P =
|
F · (sen(α) + μ · cos(α))
|
cos(α) - μ · sen(α)
|
Por otro lado, la relación entre el ángulo de hélice (α) y el diámetro medio (dm) del tornillo viene dada por la expresión:
tg(α) =
|
p
|
π · dm
|
siendo (p) el paso o avance del tornillo.
El par o momento torsional (T) que es necesario aplicar en el tornillo para elevar una carga (F), será igual al producto del esfuerzo P por el radio primitivo (rm = dm/2) del tornillo:
T = P ·
|
dm
|
2
|
Que sustituyendo el valor de P resulta un par torsional (T) de:
T =
|
F · dm
|
·
|
p + π · μ · dm
|
| 2 | π · dm - μ · p |
La expresión anterior proporciona el par o momento torsional necesario para subir una carga de valor (F), usando un tornillo de potencia de rosca cuadrada.
De forma análoga al procedimiento realizado
anteriormente, se puede calcular la expresión que proporciona el valor
del momento o par torsional necesario para bajar una carga (F) con un tornillo de potencia. Esta expresión resultará ser la siguiente:
Tdescenso carga =
|
F · dm
|
·
|
π · μ · dm - p
|
| 2 | π · dm + μ · p |
Las anteriores expresiones son válidas, como se ha
dicho, para tornillos de rosca cuadrada, donde las cargas normales son
paralelas al eje longitudinal del tornillo. Más adelante se expondrá las
expresiones válidas para tornillos con rosca ACME o Unificada.
- Tornillos de potencia con collarín:
Generalmente, cuando un tornillo de potencia se usa
para elevar o descender cargas, es habitual emplear una pieza
intermedia, llamada collarín, para distribuir mejor la fuerza de empuje
sobre la base de apoyo.
En la figura adjunta se representa un esquema de un
mecanismo de tornillo de potencia que incluye un collarín situado bajo
la base de apoyo de la carga (F) a elevar.
En este caso, el movimiento giratorio del tornillo va a
generar cargas de rozamiento adicionales entre el collarín y la base de
apoyo.
Por tanto, es necesario aplicar un par adicional (Tc) para vencer a este rozamiento nuevo, y que se sumará al par anterior calculado para el caso sin collarín.
Así, la expresión que proporciona el par adicional necesario para vencer la fuerza de rozamiento en el collar (Tc) será la siguiente:
Tc = F ·
|
μc · dc
|
2
|
donde,
µc es el coeficiente de rozamiento en el collarín
dc es el diámetro medio del collarín.
Sumando este par (Tc) a la expresión anterior se obtendrá el par total necesario para subir una carga de valor (F):
Tcollarín =
|
F · dm
|
·
|
(p + π · μ · dm)
|
+
|
μc · dc
|
· F
|
| 2 | (π · dm - μ · p) | 2 |
Por otro lado, para el caso de descender una carga, igualmente habrá que sumar el par adicional (Tc)
para vencer el rozamiento en el collarín al par anterior calculado para
el caso sin collarín. De esta forma se obtendría la expresión del par
total necesario para hacer bajar una carga (F):
Tdescenso carga con collarín =
|
F · dm
|
·
|
(π · μ · dm - p)
|
+
|
μc · dc
|
· F
|
| 2 | (π · dm + μ · p) | 2 |
- Tornillos de potencia con rosca ACME o Unificada:
Como ya se ha dicho, las anteriores expresiones son
válidas para tornillos con rosca cuadrada, donde las cargas normales son
paralelas al eje longitudinal del tornillo.
Para tornillos de potencia con rosca Acme o Unificada, la carga normal (N)
ya no es paralela al eje longitudinal del tornillo, sino que se sitúa
inclinada respecto al eje longitudinal del tornillo en una cantidad θ (igual a la mitad del ángulo de la rosca).
El efecto del ángulo (θ) es incrementar la fricción entre la rosca, debido a la acción de acuñamiento de los hilos o filetes.
Por tanto, para obtener las nuevas expresiones del par
torsional, en los términos de las ecuaciones anteriores donde
interviene la fricción, se deberá dividir por cosθ, con objeto de tener considerado dicho efecto.
Así, finalmente la expresión que proporciona el par o momento torsional necesario para elevar o descender una carga de valor (F),
empleando tornillos con rosca ACME o Unificada, resultarán ser las
siguientes en función si el tornillo emplea o no collarín de empuje:
• Par de elevación de la carga, rosca ACME o Unificada, sin collarín:
T =
|
F · dm
|
·
|
p + π · μ · dm · secθ
|
| 2 | π · dm - μ · p · secθ |
• Par de elevación de la carga, rosca ACME o Unificada, con collarín:
Tcollarín =
|
F · dm
|
·
|
(p + π · μ · dm · secθ)
|
+
|
μc · dc
|
· F
|
| 2 | (π · dm - μ · p · secθ) | 2 |
Y para el descenso de carga con rosca ACME o
Unificada, el par torsional resultarán ser las siguientes en función si
el tornillo emplea o no collarín de empuje:
• Par para descenso de la carga, rosca ACME o Unificada, sin collarín:
Tdescenso carga =
|
F · dm
|
·
|
π · μ · dm · secθ - p
|
| 2 | π · dm + μ · p · secθ |
• Par para descenso de la carga, rosca ACME o Unificada, con collarín:
Tdescenso carga con collarín =
|
F · dm
|
·
|
(π · μ · dm · secθ - p)
|
+
|
μc · dc
|
· F
|
| 2 | (π · dm + μ · p · secθ) | 2 |
de donde se recuerda que,
F es el valor de la carga a elevar por el tornillo
p es el paso o avance del tornillo
dm es el diámetro medio del tornillo
dc es el diámetro medio del collarín
µ es el coeficiente de rozamiento entre la rosca del tornillo y tuerca
µc es el coeficiente de rozamiento en el collarín.
2.2- Estado de tensiones en la rosca
En este apartado se indicará como estimar los niveles
de tensiones que se alcanza en el interior del material de la rosca del
tornillo, como consecuencia de los esfuerzos transmitidos al engranar la
rosca del tornillo con la tuerca.
Según se aprecia en el esquema adjunto, el perfil de
la rosca se puede considerar que trabaja como si se tratara de una viga
en voladizo donde es aplicada una carga (F) uniformemente
distribuida a lo largo de la longitud de la hélice del tornillo (en la
figura adjunta se representa con la distribución de flechas color
amarillo apuntando verticalmente hacia abajo).
Como se sabe, esta carga (F) representa la
carga a elevar, resultando ser la suma de todas las fuerzas axiales
(paralela al eje longitudinal del tornillo) que actúan sobre el tornillo
de potencia.
En realidad, la zona de contacto entre roscas de
tornillo y tuerca no se realiza en el extremo de la rosca, sino que
suele situarse aproximadamente a una distancia igual al radio medio (rm). En la figura del esquema adjunto se indica como h/2 la distancia entre la zona de contacto de actuación de la carga (F) a la base de la rosca.
Además, también habrá que tener en cuenta la longitud
total de la hélice en contacto en cada momento entre las roscas del
tornillo y de la tuerca. Este valor, que dependerá si la rosca del
tornillo es de simple, de doble o de triple entrada (n= 1, 2 ó 3), viene dada por la expresión 2·π·n·rm
Como se ha dicho, se considerará que el perfil de la rosca trabaja como si fuera una viga en voladizo que soporta la carga (F). Esta carga actúa uniformemente distribuida a lo largo de la longitud de contacto de la hélice de la rosca y a una distancia (rm) del centro del tornillo. Esta carga (F) creará un esfuerzo de flexión en el perfil de la rosca que originará un estado de tensiones normales (σ) que será máxima en su base.
El cálculo de este estado de tensión normal (σ) que se origina en la base de la rosca, viene determinado por la siguiente expresión:
σ =
|
Mf
|
W
|
siendo,
Mf el valor del momento flector en la base de la rosca, de valor Mf = F·h/2
W es el valor del módulo resistente de la sección del perfil de la rosca en la base.
Por otro lado, el módulo resistente de la sección de la rosca en su base viene dada por la siguiente expresión:
W =
|
I
|
ymáx
|
en la que,
I es el momento de inercia del perfil de la rosca. En este caso, I= 1/12·a·b3, donde a representa el tramo de longitud de hélice de la rosca del tornillo en contacto con la rosca de la tuerca (en este caso, a=2·π·n·rm) y b es la anchura de la base de la hélice de la rosca del tornillo, medida paralela a su eje longitudinal.
Por tanto, finalmente el momento de inercia (I) quedará como: I = 1/12·2·π·n·rm·b3
ymáx es la distancia del eje
neutro de la sección transversal de la hélice de la rosca a la fibra más
alejada de la misma. En este caso, ymáx = b/2, con b la anchura de la base de la hélice de la rosca en su base.
Por último, ahora sólo falta sustituir las anteriores
expresiones en la ecuación dada anteriormente para obtener el nivel de
tensiones normales (σ) en la base de la rosca del tornillo, resultando ser:
σ = Mf / W =
|
F · h/2 · b/2
|
1/12 · 2 · π · n · rm · b3
|
Por otro lado, la carga F resulta ser también
un esfuerzo cortante transversal a la sección de la hélice de la rosca.
Este esfuerzo transversal a la rosca va a originar una tensión de
cortadura o tensión tangencial (τ) en la sección del perfil de la rosca, que viene determinado por la siguiente expresión:
Tensión de cortadura, τ =
|
F
|
A
|
donde A es la sección transversal de la hélice de la rosca en la base del diente, de valor A=2·π·n·rm·b, que sustituyendo en la expresión anterior, resulta una tensión de cortadura de valor:
Tensión de cortadura, τ =
|
F
|
2 · π · n · rm · b
|
Una vez calculados los valores de las tensiones normales (σ) debida a la flexión de la hélice de la rosca y tangenciales (τ) máximas con las expresiones anteriores, la tensión de comparación (σco), o tensión de Von Mises, viene dada por la conocida expresión siguiente:
σco = (σ2 +3· τ2 )1/2
Una vez conocida la tensión combinada de cálculo (σco),
la seguridad en el diseño de la rosca del tornillo se obtiene
comparando esta tensión con el límite elástico del material del que esté
fabricado la rosca (σe).
Para que se considere válido el tipo de perfil elegido para la rosca, se deberá cumplir la siguiente condición:
σco < σe
Es habitual trabajar con cierto margen de seguridad en
las construcciones mecánicas, por lo que se recomienda que para que se
considere válido el tipo de perfil elegido para la rosca, se cumpla la
siguiente condición:
Cs = σe / σco > 3
Es decir, se considera aceptable el diseño cuando se tenga un factor de seguridad (Cs) mayor de 3.
2.3- Estado de tensiones en el núcleo
A continuación se estudiarán los niveles de tensiones
originados en el núcleo del tornillo, como consecuencia del momento
torsor que es necesario aplicar y de la carga a elevar.
En efecto, en el apartado 2.1 se indicaba la expresión para calcular el momento torsor (T) que es necesario aplicar al tornillo para que éste pueda elevar una carga (F). Pues bien, este momento torsor va a originar a su vez un estado tensional de torsión en el núcleo del tornillo.
El cálculo de estas tensiones de torsión (σt) a las que estará sometido el vástago del tornillo como consecuencia de aplicar el momento torsor (T), viene dado por la siguiente expresión:
σt =
|
T
|
Wt
|
donde Wt es el módulo resistente a torsión del eje o vástago del tornillo.
Por otro lado, para calcular este módulo resistente a torsión (Wt) se emplea esta otra expresión:
Wt =
|
I0
|
Rmáx
|
siendo:
I0 el momento polar de la sección circular del núcleo del tornillo, siendo su valor igual a:
I0 = Ixx + Iyy =
|
2 · π · di4
|
64
|
donde di es el diámetro de raíz del eje del tornillo.
Rmáx es la distancia del c.d.g. de la sección del eje del tornillo a su fibra más lejana, que en este caso vale Rmáx = di/2
Sustituyendo los anteriores valores, la expresión que finalmente resulta del módulo resistente a torsión (Wt) del núcleo del tornillo es:
Wt =
|
π · di3
|
16
|
Que sustituyéndola en la expresión anterior que proporciona el cálculo de la tensión de torsión (σt) en el núcleo del tornillo, ésta se podrá expresar como:
σt =
|
16 · T
|
π · di3
|
Por otro lado, la carga a elevar (F) que actúa paralela al eje longitudinal del tornillo, origina un esfuerzo de compresión, y por tanto, una tensión normal (σ) de compresión en el núcleo del tornillo, y cuyo cálculo se realiza mediante la siguiente expresión:
σ =
|
F
|
A
|
siendo A la sección del núcleo del tornillo, de valor A = π·di2/4
Una vez calculados mediante las expresiones anteriores de los valores de la tensión normal de compresión (σ) debida al peso de la carga a elevar, y las tensiones tangenciales de torsión (σt), entonces resultará que la tensión final de trabajo será una combinación de ambas, llamada tensión combinada (σco), que viene dada por la expresión:
σco = 3/8·σ +5/8·√(σ2+4·σt2)
Una vez calculada la tensión combinada de cálculo (σco),
la seguridad en el diseño del núcleo o vástago del tornillo se obtiene
comparando esta tensión con el límite elástico del material del que esté
fabricado el núcleo del tornillo (σe).
Como en el apartado anterior, para que se considere
válido la sección del núcleo del tornillo, se deberá cumplir la
siguiente condición:
Cs = σe / σco > 3
Es decir, se considera aceptable el diseño cuando se tenga un factor de seguridad (Cs) mayor de 3.
2.4- Eficiencia o rendimiento de un tornillo
El concepto de rendimiento o eficiencia es un término
que resulta útil para evaluar el adecuado funcionamiento de un tornillo
de potencia.
El caso ideal de un mecanismo de tornillo de potencia
sería aquel donde no existieran pérdidas por rozamiento entre las roscas
del tornillo con la de la tuerca. En esta situación, si suponemos un
coeficiente de rozamiento igual a 0 (µ=0), a partir de la
expresión dada en el apartado 2.1, el par necesario para accionar el
mecanismo del tornillo para elevar una carga (F) sin rozamiento sería el siguiente:
T0 =
|
F · p
|
2 · π
|
Expresión que se ha obtenido de la ecuación del par (T) vista en el apartado 2.1 anterior, donde el coeficiente de rozamiento se ha puesto igual a 0 (µ=0).
Pues bien, con el término eficiencia o rendimiento de un tornillo (η) lo que se pretende es de comparar el par (T) necesario para elevar una carga (F), con el par ideal (T0)
en el que no existe rozamiento entre las roscas del tornillo.
Matemáticamente la eficiencia se expresará mediante la siguiente
expresión:
η =
|
T0
|
T
|
o lo que es lo mismo que,
η =
|
F · p
|
2 · π · T
|
Que sustituyendo para un tornillo de rosca cuadrada, se puede obtener su rendimiento también a partir de la siguiente expresión:
η =
|
p - μ · tgα
|
p + μ · cotgα
|
Y para el caso de roscas ACME o Unificada, el rendimiento del tornillo vendría dado por esta otra expresión:
η =
|
cosθ - μ · tgα
|
cosθ + μ · cotgα
|
3- Tornillos de potencia sometidos a compresión
3.1- Generalidades
En el caso de tornillos de potencia esbeltos que se
encuentran sometidos a cargas de compresión, además de los efectos
anteriores, es necesario realizar un estudio alternativo donde se
considere el efecto de la esbeltez del tornillo en la estabilidad del
mecanismo.
En estos casos, la falla del tornillo no suele ocurrir
por resistencia pura, sino por problemas de pandeo que interfiere en la
estabilidad del vástago. En efecto, un tornillo de potencia que sea de
vástago largo y sometido a carga de compresión, fallará muy
probablemente por problemas de pandeo antes que por resistencia mecánica
de la sección del tornillo, mientras que un tornillo que sea corto
fallará posiblemente por falta de resistencia del material.
Para saber si un tornillo se puede considerar corto o
largo a efectos de pandeo, y que por tanto puedan surgir problemas de
inestabilidad, habrá que analizar el valor de su esbeltez mecánica,
término que se analizará en el siguiente apartado.
Además de lo anterior, y cuando la carga de compresión
no esté totalmente centrada respecto al eje longitudinal del tornillo,
sino que actúa con cierta excentricidad, su efecto es todavía más
desfavorable dado que induce a una flexión adicional del vástago del
tornillo que hace incrementar su nivel de tensión interna.
3.2- Esbeltez mecánica
La esbeltez mecánica (λ) servirá para definir si el vástago o columna de un tornillo de potencia se puede considerar largo o corto a efectos de pandeo.
Habitualmente, si el valor de la esbeltez que se mida del vástago del tornillo resultase inferior a 89 (λ<89),
entonces el tornillo se considera corto y su falla se producirá muy
probablemente por problemas de resistencia mecánica. Por el contrario,
para aquellos tornillos cuyo valor de la esbeltez mecánica sea superior a
89 (λ>89), entonces se considerarán tornillos de columna
esbelta o larga (que serán más esbeltos conforme mayor sea su
coeficiente de esbeltez, λ). En estos casos, se recomienda hacer
el estudio que a continuación se expone, donde se va a tener en cuenta
la estabilidad del tornillo a pandeo, dado que su falla se producirá muy
probablemente por éste motivo antes que por resistencia mecánica pura a
compresión.
La expresión que define la esbeltez mecánica (λ) de la columna o vástago de un tornillo de potencia es la siguiente:
λ =
|
Le
|
i
|
donde,
Le se define como la longitud efectiva o equivalente de la columna del tornillo, también llamada longitud de pandeo;
i es el radio de giro de la sección bruta
del tornillo. En este caso, el valor del radio de giro que se considere
deberá ser el de aquella dirección que resulte mínimo (i=imín).
El radio de giro (i) de la sección de la columna del tornillo se define a su vez por la siguiente expresión:
i = √ (
|
I
|
)
|
| A |
donde I es el momento de inercia de la
sección trasversal, que se tomará según la dirección cuyo valor resulte
más pequeño (que será la dirección más débil) de la columna del
tornillo, y A es el área de su sección transversal, es decir, el área del núcleo del tornillo (A= π·di2/4).
Por otro lado, la longitud de pandeo o longitud efectiva (Le) de la columna del tornillo se define como:
Le = ß·L
donde,
L es la longitud real de la columna o vástago del tornillo
ß es el coeficiente de esbeltez, cuyo valor
dependerá de las condiciones de apoyo o sujeción de los extremos de la
columna del tornillo.
En la siguiente figura se muestran los valores de longitud equivalente (Le) para distintas condiciones de apoyo de la columna del tornillo:
Tabla 1. Longitud equivalente (Le) en función de las condiciones de apoyo
|
||
Condiciones de apoyo
en los extremos |
Valor Teórico
|
Valor recomendado
por AISC |
Articulado /
articulado |
Le = L
|
Le = L
|
Articulado /
Fijo |
Le = 0,707·L
|
Le = 0,8·L
|
Fijo /
Fijo |
Le = 0,5·L
|
Le = 0,65·L
|
Fijo /
Libre |
Le = 2·L
|
Le = 2,1·L
|
3.3- Carga crítica
Para tornillos de potencia que sean cortos, donde su esbeltez mecánica resulte inferior a 89 (λ<89), y que estén solicitados a una carga de compresión centrada (F), su carga crítica viene limitada por su resistencia mecánica a compresión.
En este caso, una carga de compresión (F) que actúa centrada y paralela al eje longitudinal del tornillo, origina una tensión normal (σ)
también de compresión en el núcleo del tornillo, cuyo valor se calcula
mediante la expresión siguiente, ya vista en apartados anteriores:
σ =
|
F
|
A
|
siendo A la sección del núcleo del tornillo, de valor A= π·di2/4
Como criterio de seguridad se deberá cumplir que la tensión de trabajo (σ) sea inferior al límite elástico (σe) del material del tornillo (σ<σe). Es habitual trabajar con cierto margen de seguridad, por lo que se recomienda que se cumpla la siguiente condición:
Cs = σe / σ > 3
Es decir, se considera aceptable el diseño cuando se tenga un factor de seguridad de valor mayor de 3.
Por otro lado, para tornillos de potencia que sean de columna larga, y donde su esbeltez mecánica sea mayor que 89 (λ>89), los problemas de inestabilidad por pandeo condicionará la resistencia final del tornillo.
En este sentido, fue Leonhard Euler quien
estableció la siguiente formulación que permite calcular la carga
crítica de pandeo para una columna comprimida axialmente, de carga
centrada en la sección, y cuyos extremos están articulados.
Fcrít = π2 ·
|
E · A
|
(L / i)2
|
De donde se deduce que la carga crítica (Fcrít) depende del área de la sección transversal del núcleo del tornillo (A), de su longitud (L), del radio de giro (i) mínimo de la sección transversal del tornillo y del módulo de elasticidad (E) del material de fabricación del tornillo.
Como el momento de inercia (I) mínimo de la sección transversal del núcleo del tornillo también se puede expresar de la siguiente manera: I = i2·A, la carga crítica de Euler se puede poner como:
Fcrít = π2 ·
|
E · I
|
L2
|
Cuando las condiciones de sujeción de los extremos del
tornillo sean diferentes a la articulada, la carga crítica de Euler se
expresaría de la siguiente manera:
Fcrít = π2 ·
|
E · I
|
Le2
|
Donde (Le) es la longitud de pandeo de la columna del tornillo, y cuya expresión ya se vio anteriormente, definiéndose como:
Le = ß·L
donde,
L es la longitud real de la columna del tornillo
ß es el coeficiente de esbeltez, cuyo valor
dependerá de las condiciones de apoyo de los extremos del tornillo,
pudiéndose elegir los siguientes valores ya vistos:
ß=0,5 extremos empotrado-empotrado;
ß=0,7 extremos articulado-empotrado;
ß=2 extremos libre-empotrado.
3.4- Excentricidad de la carga
En muchas ocasiones, se tiene que la carga de
compresión que actúa sobre el extremo del tornillo no se sitúa
perfectamente coincidente respecto a su eje longitudinal, sino que su
línea de actuación queda algo descentrada.
Pues bien, se denomina excentricidad (e) de la carga a esta distancia entre la línea de acción de la carga (F) actuante y el eje de la columna del tornillo.
Esta excentricidad de la carga introduce esfuerzos
adicionales (momentos de flexión) a lo largo del eje del tornillo, que
se suman a los ya debidos a los esfuerzos de compresión de la carga (F).
Para el estudio de este caso, el efecto de la
excentricidad de la carga se puede reemplazar por un sistema de
esfuerzos equivalentes formados por una carga de compresión centrada de
valor (F) y un momento de flexión (M) de valor M=F·e, donde (e) es la excentricidad de la carga (F) actuante sobre el tornillo.
El problema se resuelve calculando una tensión axial (σco) combinada de cálculo que considere tanto la tensión creada por el esfuerzo de compresión de la carga (F) centrada, como de la tensión adicional creada por el esfuerzo de flexión debida a la excentricidad de la carga (M=F·e).
En este sentido, si se ha denominado (di) al diámetro de raíz del eje del tornillo, (F) al valor de la carga de compresión actuante sobre el tornillo, y (e) a la excentricidad de ésta, el valor de la tensión axial (σco) combinada de cálculo viene dada por la siguiente expresión:
σco =
|
4 · F
|
+
|
32 · F · e
|
| π · di2 | π · di3 |
Una vez conocida la tensión combinada de cálculo (σco),
la seguridad en el diseño del tornillo se obtiene comparando esta
tensión con el límite elástico del material del que esté fabricado la
columna del tornillo (σe).
Para que se considere válido el mecanismo, se deberá cumplir la siguiente condición:
σco<σe
Es habitual trabajar con cierto margen de seguridad en
las construcciones mecánicas, por lo que se recomienda que se cumpla la
siguiente condición:
Cs = σe / σco > 3
Es decir, se considera aceptable el diseño cuando se tenga un factor de seguridad (Cs) mayor de 3.
4- Tornillos irreversibles
4.1- Generalidades
Existen ocasiones, donde al utilizar tornillos de
potencia con un avance o paso relativamente elevado, y cuyo coeficiente
de rozamiento sea pequeño (por ejemplo, porque la rosca esté engrasada),
pueden dar lugar a que la carga que sostiene el tornillo, cuando no se
actúa sobre él, pueda descender por sí sola.
En estos casos, el descenso de la carga por la rosca
del tornillo simula el comportamiento de un objeto que desciende sobre
un plano inclinado, haciendo que el tornillo gire sin ninguna acción
externa. Estos casos ocurren porque el momento torsional para bajar la
carga tiene un valor negativo o simplemente nulo.
Para evitar estas situaciones, que pueden resultar
peligrosas para la seguridad, se utilizan los llamados tornillos
irreversibles, también denominados como autoasegurantes o autoblocantes.
En estos tornillos el valor del par torsional para hacer descender la
carga va a ser siempre positivo, por lo que siempre van a necesitar que
se les aplique un momento torsional externo positivo para hacer
descender la carga.
4.2- Condición de irreversibilidad
Según lo visto en apartados anteriores, la expresión
que proporciona el par necesario para bajar la carga de un tornillo, que
para el caso de rosca cuadrada y sin collarín, resultaba ser la
siguiente:
Tdescenso carga =
|
F · dm
|
·
|
π · μ · dm - p
|
| 2 | π · dm + μ · p |
Como la condición de irreversibilidad para hacer a un
tornillo irreversible es que el par necesario para hacer bajar la carga
sea siempre positivo (Tdescenso carga > 0), aplicando esta condición a la expresión anterior resulta que se debe cumplir lo siguiente:
π · μ · dm - p > 0
es decir que,
π · μ · dm > p
o bien que,
μ >
|
p
|
π · dm
|
que es lo mismo que se cumpla la siguiente condición:
μ > tgα
Es decir, que la condición de irreversibilidad para un tornillo de rosca cuadrada es que posea un coeficiente de rozamiento (µ) mayor que la tangente de su ángulo de hélice.
Aplicando el mismo razonamiento, se puede llegar a que
la condición de irreversibilidad para un tornillo de rosca Acme o
Unificada, es que se cumpla siempre la siguiente condición:
μ >
|
p
|
π · dm · secθ
|
5- Ejemplo de cálculo
En este apartado se incluirá un breve ejemplo de
cálculo de un tornillo de potencia que sirva para ilustrar lo expuesto
en los apartados anteriores de este tutorial.
Para ello, en este ejemplo de cálculo de tornillo se va a tratar de calcular la carga (F) que puede levantar verticalmente un tornillo de potencia, al que se le aplica un par de torsión en su extremo inferior de T= 400 lb·pulg.
Según se muestra en el esquema adjunto, la tuerca
tiene su movimiento restringido mediante guías y se encuentra cargada
por la fuerza (F), que representa la carga a elevar.
Como datos de partida se tiene que el tornillo posee un diámetro exterior (de) de 2", siendo el tornillo de rosca simple ACME, de 1 filete por pulgada (paso del tornillo, p= 1").
También como dato de partida del tornillo, se tiene que el coeficiente de rozamiento de la rosca (µ) es de 0,15 (µ=0,15).
El tornillo se encuentra apoyado y sujeto en su
extremo inferior por un cojinete de bolas, cuyo rozamiento se puede
considerar despreciable a efectos de cálculos en este ejemplo.
La expresión vista en el apartado anterior 2.1 que proporciona el par torsional (T) necesario para elevar una carga de valor (F) para un tornillo de rosca ACME, y sin collarín, resultaba ser la siguiente:
T =
|
F · dm
|
·
|
p + π · μ · dm · secθ
|
| 2 | π · dm - μ · p · secθ |
Para este ejemplo, el par torsional que se le aplica al tornillo es conocido y de valor T= 400 lb·pulg, siendo el valor (F) de la carga a elevar el parámetro a calcular.
Para la rosca especificada, la profundidad del
fileteado de la rosca puede ser extraído de tablas, según medidas
normalizadas para rosca ACME, cuyo valor es de 0,09".
Por otro lado, el radio exterior del tornillo se tiene que es: re = de/2 = 2"/2 = 1"
Por lo tanto, el radio medio de la rosca valdrá: rm = re - profundidadrosca = 1" - 0,09" = 0,91"
Y su diámetro medio, dm = 2·rm = 2·0,91" = 1,82"
El ángulo de la hélice de rosca se calcula según la expresión ya vista en el apartado 2.1:
tg(α) =
|
p
|
2 · π · rm
|
que sustituyendo valores resulta,
tg(α) =
|
1
|
2 · π · 0,91
|
tg(α)=0,175; α= 9,92º → θ= 14,5º para rosca ACME
Aplicando la expresión anterior del par y sustituyendo valores, resulta:
400 =
|
F · 1,82
|
·
|
1 + π · 0,15 · 1,82 · sec(14,5)
|
| 2 | π · 1,82 - 0,15 · 1 · sec(14,5) |
Y despejando (F) de la expresión anterior, se
obtiene finalmente el valor de la carga que se puede elevar con el
tornillo del ejemplo, que resulta ser:
F = 1296 lb
ANEXOS
A.1- Tablas de Roscas de Tornillos:
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