1- Introducción
1.1- Generalidades
La principal ventaja de las transmisiones por
engranajes mediante ruedas dentadas es la gran exactitud en la relación
de transmisión que se puede alcanzar frente a otros tipos de
transmisiones, lo que permite, entre otras aplicaciones, su uso en
maquinaria de precisión.
Por otro lado, el empleo de materiales con gran dureza
superficial y rigidez (por ejemplo, aceros templados sometidos a un
tratamiento de cementación superficial), permiten transmitir pares
elevados de fuerza a velocidades de giro elevadas, conservando a la vez
constante la relación de transmisión.
En general, en una transmisión por engranajes se puede
distinguir entre rueda conductora solidaria al eje de entrada (input o
eje motor) y la rueda conducida a la que se transmite el movimiento y
que es solidaria al eje de salida (output). La rueda conductora girará a
una velocidad de giro (ω1), mientras que la rueda conducida podrá girar a otra velocidad de giro (ω2)
distinta. La relación entre ambas velocidades de giro es lo que se
llama, y se verá con más detalle posteriormente, relación de transmisión
(rt = ω2 / ω1).
Figura 1. Tipos de engranajes
Los engranajes rectos son de gran aplicación cuando se
requiere transmitir el movimiento de un eje a otro paralelo y cercano.
Cuando lo que se requiere es un funcionamiento más silencioso, que
transmita menores cargas dinámicas a los cojinetes de apoyo, y puedan
funcionar a mayores rangos de velocidad, lo ideal es utilizar engranajes
helicoidales. En este caso los dientes son como hélices cilíndricas, de
manera que cuando una pareja de dientes entra en contacto siempre hay
otros conectados, con lo que se consigue que la conexión se realice
gradualmente, sin impactos ni ruidos. Por otro lado, si el movimiento a
transmitir es entre ejes cruzados o perpendiculares, entonces lo
recomendable es usar engranajes cónicos.
Como contrapartida, al basarse la transmisión por
engranajes en el contacto directo entre superficies de los dientes de la
rueda conductora y la conducida, esto ocasiona que se generen pérdidas
por rozamiento en forma de calor (el engranaje se calienta), por lo que
se hace necesario emplear lubricantes que envuelvan el contacto entre
los dientes. De esta manera, empleando el lubricante adecuado se reduce
el rozamiento entre superficies, además de servir como medio para
evacuar el calor generado. Una buena lubricación puede suponer que las
pérdidas por rozamiento no superen el 1-2% de la potencia transmitida.
1.2- Geometría del diente
La definición de una transmisión por engranajes pasa
por el conocimiento de las variables que definen la geometría del diente
que se talla en la rueda. A continuación se definen dichas variables:
- Paso (p): también llamado paso
circular o circunferencial (en adelante simplemente paso) es la
distancia medida sobre la circunferencia primitiva (circunferencia que
definiría la superficie por la cual el engranaje rueda sin deslizar)
entre puntos homólogos de dos dientes consecutivos. Según se aprecia en
la figura siguiente el paso es igual a la suma del grueso del diente y
el ancho entre dientes consecutivos.
Figura 2. Paso circular o circunferencial
Matemáticamente el paso se define por la siguiente relación:
π · d
|
||
p =
|
||
Z
|
Siendo,
p, el paso del diente (en mm);
d, el valor del diámetro primitivo (en mm);
Z, el número de dientes.
- Módulo (m): es la relación que existe entre el diámetro primitivo del engranaje y el número de dientes (Z) que contiene la rueda, (concretamente el cociente entre el diámetro primitivo y el número de dientes, m = d/Z). Para que dos engranajes puedan engranar deben tener el mismo módulo, m. Paso (p) y módulo (m) están relacionados a través de la siguiente expresión:
p = m · π
El módulo se mide en milímetros, al igual que el paso.
En la siguiente tabla se incluyen los valores de paso y módulo
normalizados, junto con los valores de espaciado entre dientes, y de
espesor y profundidad de dientes:
Tabla 1. Medidas normalizadas en dientes
- Paso Diametral o Diametral Pitch (dp):
en el sistema inglés de unidades se emplea como unidad la pulgada
(inch) y en el cálculo de engranajes se utiliza el llamado diametral
pitch (dp). El diametral pitch o paso diametral es el cociente entre el número de dientes (Z) y el diámetro primitivo (d), expresado en pulgadas.
Z
|
||
dp =
|
||
d
|
Obsérvese que entre el paso (p) y el diametral pitch (dp) se cumple la relación siguiente:
dp · p = π
Por otro lado, la relación entre el paso diametral o diametral pitch (dp) y el módulo (m) es el siguiente:
25,4
|
||
m =
|
||
dp
|
- Circunferencia de cabeza (Ra): es la circunferencia que limita a los dientes exteriormente.
- Circunferencia de pie (Rf): es la circunferencia que limita el hueco entre dientes por su parte inferior.
- Adendo o altura de cabeza (ha): es la distancia radial entre la circunferencia primitiva y la cabeza del diente. Para un perfil de referencia normalizado, ha = m.
- Dedendo o altura de pie (hf): es la distancia radial entre la raíz del diente y la circunferencia primitiva. Para un perfil de referencia normalizado, hf = 1,25 · m.
Figura 3. Nomenclatura usada en engranajes
- Altura total (h): es igual a la suma de las alturas de cabeza y de pie. Para un perfil de referencia normalizado, h = 2,25 · m.
- Holgura o juego lateral: es el espacio que
queda libre al engranar una pareja de dientes. Esta holgura siempre será
necesaria para permitir una cierta deformación o deflexión que se
produce en los dientes, además de para permitir el paso del lubricante o
para la expansión térmica que sufre el metal del engranaje al
calentarse.
.
- Juego en cabeza o tolerancia (c): es
el espacio que queda entre la cabeza de un diente y el fondo del espacio
interdental de la rueda con que engrana. Suele tomar un valor, c = 0,25 · m.
- Altura de trabajo o activa (hw): es la diferencia entre la altura total del diente y el juego, hw = h - c. Para un perfil de referencia normalizado, hw = 2 · m.
- Espesor del diente (s): el espesor del diente es el que viene medido sobre la circunferencia primitiva. Para un perfil de referencia normalizado, s = m · π /2.
- Hueco (e): es el hueco entre dientes medido sobre la circunferencia primitiva. Para un perfil de referencia normalizado, e = m · π /2.
- Cara del diente: es la parte de la superficie del diente que queda entre la circunferencia primitiva y la de cabeza.
- Flanco del diente: es la parte de la superficie del diente que queda entre la circunferencia primitiva y la de pie.
- Anchura de flanco (b): es la anchura del diente medida en dirección paralela al eje.
- Ángulo de presión (α): es el ángulo
que forma la línea de presión (que es la línea normal a la superficie
del diente en el punto de contacto entre dos engranajes) con la tangente
a ambas circunferencias primitivas.
Figura 4. Ángulo de presión, (α)
La relación geométrica entre el ángulo de presión (α) y los radios de la circunferencia base (Rb) y circunferencia primitiva (Rp), es la siguiente:
Rb = Rp · cosα
Los valores del ángulo de presión están en función del número de dientes, siendo algunos de sus valores los siguientes:
Nº. de dientes, (Z)
|
Ángulo de presión, (α)
|
8
|
25º
|
10
|
22º 30'
|
15
|
20º
|
20
|
17º 30'
|
25
|
15º
|
30
|
14º 30'
|
2- Parámetros de diseño
2.1- Condición de engrane
El principio fundamental o condición de engrane entre
dos dientes se basa en que el perfil de éstos debe ser tal que la normal
trazada por el punto de contacto entre los dos dientes pase siempre por
un punto O que se sitúa en la línea que une los dos centros de rotación de los engranajes, y que las distancias entre dicho punto O y los respectivos centros, coincida con sus correspondientes radios primitivos.
Figura 5. Plano de la sección transversal
Para que la relación de transmisión permanezca
constante es necesario que el centro de rotación sea un punto fijo, es
decir, que la normal a la superficie de los dientes en su punto de
contacto, o sea, la línea de presión, pase en cualquier posición por un
punto fijo de la línea de centros. A los perfiles que cumplen esta
condición se les dicen que son perfiles conjugados y cumplen con la
condición de engrane.
Además existe una condición geométrica que establece
el tamaño de los dientes. Para que dos ruedas dentadas puedan engranar
deben tener el mismo paso "p" o lo que es lo mismo, el mismo módulo "m", ya que p = m · π.
2.2- Relación de transmisión
Sea una transmisión de engranajes 1 y 2 conectados, siendo 1 la rueda conductora o de entrada, y 2 la rueda conducida o de salida del movimiento. Se denomina relación de transmisión (rt)
a la relación que existe entre las velocidades de rotación de los dos
engranajes, concretamente es el cociente entre la velocidad de salida y
la velocidad de entrada (rt = ω2 / ω1). De esta forma se tiene que:
- si rt < 1, el sistema se denomina reductor;
- si rt > 1, el sistema se denomina multiplicador.
Figura 6. Transmisión de engranajes
Matemáticamente, la relación de transmisión puede ser expresada de múltiples maneras, según las siguientes expresiones:
ω2
|
||
rt =
|
——
|
, ó bien
|
ω1
|
n2
|
||
rt =
|
——
|
, ó bien
|
n1
|
d1
|
||
rt =
|
——
|
, ó bien
|
d2
|
Z1
|
||
rt =
|
.
|
|
Z2
|
siendo,
ω2 y ω1, las velocidades angulares (en rad/s) de los engranajes de salida y de entrada, respectivamente;
n2 y n1, las velocidades de giro (en r.p.m.) de los engranajes de salida y de entrada, respectivamente;
d2 y d1, los diámetros primitivos (en mm) de los engranajes de salida y de entrada, respectivamente;
Z2 y Z1, los números de dientes de los engranajes de salida y de entrada, respectivamente.
Por otro lado, según la magnitud de la relación de
transmisión que se pretenda conseguir, puede que sea necesario emplear
una transmisión por engranajes constituida por más de una etapa.
Figura 7. Transmisión por engranajes multi-etapas
En la tabla siguiente se muestra el número de etapas
que hay que emplear en una transmisión por engranajes, según sea la
relación de transmisión total que se pretenda alcanzar entre los ejes de
entrada y de salida:
Nº. de Etapas
|
Relación Normal
|
Relación Extendida
|
Relación Extrema
|
1 etapa
|
6
|
8
|
20
|
2 etapas
|
30
|
45
|
100
|
3 etapas
|
150
|
200
|
300
|
2.3- Coeficiente de recubrimiento
El coeficiente o grado de recubrimiento (ε),
también llamado relación de contacto, es un parámetro que mide el
promedio de dientes que están siempre en contacto. Como norma general,
se tratará que ε > 1,2. Con ello se garantizará una mayor
capacidad del engranaje de transmitir cargas más elevada, proporcionará
una mayor rigidez a la transmisión, a la vez que se conseguirá un
funcionamiento más uniforme y menos ruidoso.
Figura 8. Coeficiente de recubrimiento
Como se indica en la figura anterior, A marca el punto de contacto inicial, mientras que B el final. El arco AP recibe el nombre de arco de aproximación (qa), mientras que el PB es el arco de retroceso (qb). La suma de ambos se denomina arco de acción (qt).
qt = qa + qb
El coeficiente de recubrimiento (ε) se va a definir como el cociente entre el arco de acción y el paso base, es decir,
qt
|
||
ε =
|
||
p
|
Cuando el arco de acción es ligeramente mayor que el paso circular (p),
significa que cuando un par de dientes entran en contacto, el par de
dientes anterior que estaba engranado no habrán llegado aún al punto B,
por lo que durante un periodo de tiempo los dos pares estarán en
contacto. Con ello se consigue una transmisión más uniforme y suave, a
la vez que más rígida. Como norma general interesará siempre que ε > 1,2.
3- Materiales empleados para engranajes
3.1- Generalidades
Para la fabricación de engranajes se emplean
materiales de los más diversos. Además del acero, se emplean engranajes
fabricados en fundición, aleaciones ligeras como aluminio, etc.
Sin embargo, cuando los esfuerzos a transmitir son
importantes, y las exigencias de durabilidad y resistencia al desgaste
elevadas, se suele emplear engranajes hechos en acero sometido a un
tratamiento de templado, con un proceso posterior de cementación que
incremente aún más su dureza superficial.
3.2- Propiedades mecánicas de aceros
En la siguiente tabla se indican las propiedades mecánicas de los aceros, según denominación AISI:
Tabla 2. Propiedades mecánicas de aceros, denominación AISI
3.3- Propiedades mecánicas de aceros de alta resistencia
En la siguiente tabla se indican las propiedades mecánicas de los aceros de alta resistencia, según denominación AISI:
Tabla 3. Propiedades mecánicas de aceros de alta resistencia, denominación AISI
3.4- Propiedades mecánicas de aceros inoxidables forjados
En la siguiente tabla se indican las propiedades mecánicas de aceros inoxidable forjados:
Tabla 4. Propiedades mecánicas de aceros inoxidables forjados
3.5- Propiedades mecánicas de aleaciones de aluminio forjadas
En la siguiente tabla se indican las propiedades mecánicas de aleaciones de aluminio forjadas:
Tabla 5. Propiedades mecánicas de aleaciones de aluminio forjadas
3.6- Propiedades mecánicas de aleaciones de aluminio fundidas
En la siguiente tabla se indican las propiedades mecánicas de aleaciones de aluminio fundidas:
Tabla 6. Propiedades mecánicas de aleaciones de aluminio fundidas
3.7- Propiedades mecánicas de fundición gris
En la siguiente tabla se indican las propiedades mecánicas de fundición gris, según denominación ASTM:
Tabla 7. Propiedades mecánicas de aleaciones de fundición gris, denominación ASTM
3.8- Propiedades mecánicas de aleaciones base cobre
En la siguiente tabla se indican las propiedades mecánicas de algunas aleaciones a base de cobre:
Tabla 8. Propiedades mecánicas de aleaciones a base de cobre
3.9- Propiedades mecánicas de aleaciones de magnesio
En la siguiente tabla se indican las propiedades mecánicas típicas de aleaciones de magnesio:
Tabla 9. Propiedades mecánicas de aleaciones de magnesio
La expresión matemática que define la potencia que
transmite un eje de transmisión en función del par de fuerzas y de su
velocidad angular de giro, es la siguiente:
P = T · ω
siendo,
P, la potencia transmitida por el eje, en W (watios);
T, es el par de fuerzas que desarrolla, en N·m;
ω, es la velocidad angular a la que gira el eje, en rad/s.
La anterior expresión es básica y permite entender las prestaciones de una transmisión por engranajes.
En efecto, suponiendo una transmisión con un eje de entrada del movimiento (Eje 1) y un eje de salida (Eje 2), y que la potencia de entrada (P1) y la de salida (P2) sean iguales al considerarse nulas las pérdidas que se puedan producir en la transmisión (rendimiento = 1) , se cumpliría lo siguiente:
P1 = T1 · ω1
P2 = T2 · ω2
Al ser ambas potencias iguales, se tiene que:
P1 = P2 , o lo que es lo mismo:
T1 · ω1 = T2 · ω2
Figura 1. Transmisiones reductoras y multiplicadoras
De esta manera, cuando se emplea una transmisión reductora (rt =ω2 / ω1 con rt < 1), donde la velocidad de giro del eje de salida es menor que la de entrada (ω2 < ω1), y al conservarse constante el producto par de fuerza por velocidad de giro (T1·ω1 = T2·ω2), se consigue un par a la salida de la transmisión (T2) mayor que el de entrada (T2 > T1).
Y a la inversa, en una transmisión multiplicadora (rt =ω2 / ω1 con rt > 1), donde la velocidad de giro del eje de salida es mayor que la de entrada (ω2 > ω1), se tiene un par de fuerzas a la salida de la transmisión (T2) menor que el par que desarrolla el eje de entrada (T2 < T1 ).
1.3- Esfuerzos ejercidos sobre el diente
Cuando una pareja de dientes entra en contacto se produce un esfuerzo que se transmite perpendicular a la zona de contacto (Fbt). Esta fuerza puede ser descompuesta a su vez según dos componentes perpendiculares, una en dirección radial del diente (Fn)
que se va a despreciar en el cálculo a flexión del diente pero que
deberá ser tenida en cuenta cuando se realice el cálculo del eje, y otra
componente de la fuerza tangencial al engranaje (Ft) que es la que se tendrá en cuenta para el cálculo a flexión del diente.
Figura 2. Fuerzas transmitidas al diente
Por otro lado, como ya se ha visto anteriormente, la potencia (P) y el par de fuerza (T) que transmite un engranaje están relacionados junto con la velocidad angular de giro a través de la siguiente expresión:
P = T · ω
siendo,
P, la potencia transmitida por el eje, en W (watios);
T, es el par de fuerzas que desarrolla, en N·m;
ω, es la velocidad angular a la que gira el eje, en rad/s.
El par de fuerzas (T) y el esfuerzo tangencial (Ft) en el engranaje están relacionados a partir del radio de su circunferencia primitiva según la siguiente expresión:
T = Ft · r
siendo r el radio de la circunferencia primitiva del engranaje.
Por lo tanto, el esfuerzo tangencial también puede expresarse en función de la potencia transmitida (P) a partir de la siguiente expresión:
P
|
||
Ft =
|
||
ω · r
|
Asimismo, la otra componente normal (Fn) dirigida según el radio del engranaje viene expresada en función del esfuerzo transmitido (Fbt) y el ángulo de presión (α) a partir de la siguiente expresión:
Fn = Fbt · sen(α)
Por último, ambas componentes de fuerza, normal (Fn) y tangencial (Ft), están relacionadas a través del ángulo de presión (α) del engranaje:
Fn = Ft · tg(α)
1.4- Prediseño inicial
Para una estimación inicial y rápida que ayude a
conocer con cierto margen de seguridad la dimensión y número de dientes
del engranaje que se vaya a necesitar, se puede seguir el siguiente
proceso simplificado:
1º.- Generalmente los datos de partida, que son conocidos, suelen ser la potencia (P) que hay que transmitir y la velocidad de giro del eje (ω)
donde se monta el engranaje. Por ejemplo, porque puede ser accionado
desde un motor eléctrico del que se conozca su potencia de
funcionamiento y su régimen de giro.
2º.- Al ser éste un proceso iterativo, se parte de un valor inicial del módulo (m) del engranaje que se elige de entre los valores que existen normalizados y de su número de dientes (Z). Para ello puede consultar el Tutorial Nº 150 donde se incluyen estos parámetros.
3º.- Con los valores del módulo (m) y del número de dientes (Z) supuestos para el engranaje, se puede obtener su diámetro primitivo (d):
d = m · Z
4º.- Por otro lado, conocida la potencia (P) y el régimen de giro (ω) del engranaje, se puede calcular el par de fuerzas (T) que se transmite, a partir de la siguiente expresión:
P
|
||
T =
|
||
ω
|
5º.- Conocido el par de fuerzas (T) que transmite y el diámetro primitivo (d) del engranaje obtenido en el paso 3, se puede calcular la fuerza tangencial que transmite el engranaje:
T
|
||
Ft =
|
||
r
|
donde r es el radio primitivo, obtenido a partir del diámetro (r = d/2).
6º.- Conocida la fuerza tangencial (Ft) transmitida por el engranaje se calcula la tensión (σ)
que se origina en la base del diente, empleando la siguiente expresión
que será vista en el próximo apartado 2.1 de este tutorial, pero que
ahora adelantamos:
Ft = σ · b · m · Y
donde m es el módulo, Y es el llamado factor de Lewis (ver apartado 2.1 de este tutorial) y b es la anchura de la cara diente. Como valor inicial de anchura de la cara del diente se suele tomar un valor comprendido entre:
3p < b < 5p
siendo p el paso circular. De todas formas,
en el Tutorial Nº 150 se puede consultar los valores estandarizados
para la anchura del diente (b) en función de su módulo (m) y paso circular (p).
7º.- Calculada la tensión de trabajo (σ) que alcanza el diente, ahora sólo queda comprobar que ésta es inferior a la máxima tensión admisible (σadm) que aguanta el material del que está fabricado el engranaje.
Recordemos que suele emplearse como tensión máxima
admisible la correspondiente al límite elástico del material. En el
Tutorial Nº. 150 se pueden consultar una serie de tablas con los valores
de las propiedades mecánicas resistentes de los materiales más
empleados para la fabricación de engranajes.
Por último, y siguiendo con el procedimiento expuesto se procede a comparar la tensión de trabajo así calculada (σ) con la admisible (σadm) del material. En caso que σ < σadm
significa que el material del diente así fabricado resiste, y las
suposiciones de partida fueron correctas; en caso contrario, (σ > σadm) habría que volver al paso 2 y partir de otros valores distintos para el módulo (m) y número de dientes (Z) del engranaje.
Por último, cabría reseñar que para evitar que
surjan problemas de interferencias entre dientes de engranajes
conjugados no se deben elegir engranajes con un número de dientes
inferior a 18 cuando su ángulo de presión (α) sea de 20º, ni inferior a 12 dientes cuando sea de 25º.
2- Cálculo de la resistencia del diente
2.1- Resistencia a flexión
Para el cálculo de la resistencia a flexión del diente
se parte de una serie de consideraciones que van a simplificar el
proceso, y que a la vez quedarán siempre del lado de la seguridad.
Por un lado, el perfil del diente se va a considerar
que trabaja como si se tratara de una viga o barra en voladizo (o en
ménsula) donde se le aplica una carga puntual en su extremo (Ft),
que simula a la solicitación que se transmite una pareja de dientes
cuando entran en contacto. En realidad, la zona de contacto no se
realiza en la punta del diente, sino que tendrá lugar en una zona de la
cara del diente situada más abajo, por lo que si se considera aplicada
en su extremo, las tensiones resultantes en la base del diente serán
mayores que las reales, y se estaría del lado de la seguridad.
Y por otro lado, también se considerará a efectos de
cálculo, que en cada momento sólo existe una pareja de dientes en
contacto que absorbe toda esta fuerza transmitida, cuando en realidad y
si el diseño se ha realizado correctamente (lo que supone trabajar con
un grado de recubrimiento mayor a uno) en cada momento habrá más de una
pareja de dientes en contacto que se distribuyan la fuerza transmitida,
por lo que realmente el esfuerzo que soportará cada diente será menor
que el de aquí considerado.
Supuesto lo anterior, comencemos con el cálculo a
flexión de un diente. Como se ha dicho, para calcular su resistencia a
flexión se considerará que el diente trabaja como si fuera una viga o
barra en voladizo cargada en su extremo.
Como toda barra sometida a flexión, el cálculo de su nivel tensional (σ) viene determinada por la siguiente expresión:
M
|
||
[1]: σ =
|
||
W
|
siendo,
M el valor del momento flector en un punto de la barra, y W es el valor del módulo resistente de la sección en ese punto.
Por otro lado, el módulo resistente de la sección del
diente vendrá dada por la siguiente expresión (considerada en la base
del diente):
I
|
||
W =
|
||
ymáx
|
en la que:
I es el momento de inercia del perfil del diente respecto al eje neutro de su sección. En este caso, I= b·s3/12, donde s es espesor del diente en la base y b es la anchura de la cara del diente, medida paralela a su eje.
ymáx es la distancia del eje neutro de la sección transversal del diente a la fibra más alejada de la misma. En este caso, ymáx = s/2, con s el espesor del diente en su base.
En otro orden de cosas, como el momento flector máximo se alcanza en la base del diente, éste toma el siguiente valor:
M= Ft · h
Siendo h la altura total del diente, desde su base a la punta, y Ft es el valor de la fuerza tangencial transmitida de un diente a otro.
Sustituyendo los anteriores valores en la expresión de
la tensión [1], se obtendrá el valor que alcanza ésta en la base del
diente, siendo:
6 · Ft · h
|
||
σ =
|
||
b · s2
|
De la anterior expresión los parámetro s y h
son puramente geométricos del perfil del diente, y pueden ser
sustituidos por una nueva expresión que esté en función del módulo (m) y de un nuevo factor Y llamado factor de Lewis.
Despejando de la anterior expresión la fuerza tangencial (Ft) transmitida, y tendiendo en cuanta la anterior consideración, se tendrá lo siguiente:
[2]: Ft = σ · b · m · Y
donde b es la anchura del diente medida paralela a su eje, m es el módulo e Y
es el llamado factor de Lewis, que depende exclusivamente de la
geometría del diente, de la norma de dentado y del número de dientes, y
cuya expresión es la siguiente:
s2
|
||
Y =
|
||
6 · m · h
|
El valor de la fuerza tangencial máxima (Ft,máx) que podría transmitir el diente por limitaciones de resistencia a flexión se obtendría sustituyendo el valor de la tensión (σ)
por el valor de la tensión máxima admisible que aguante el diente
(generalmente se suele considerar el límite elástico del material (σy) del cual está fabricado el diente, es decir, σadm = σy ). De esta manera se obtendría el valor de la máxima fuerza que podría transmitir el diente por flexión:
Ft,máx = σadm · b · m · Y
El factor de Lewis (Y) depende de los parámetros s y h, que en la mayoría de los casos resulta muy difícil de medir. Por ello, es frecuente calcular el factor de Lewis (Y)
a partir de expresiones más simples que proporcionen valores bastante
aproximados, o mediante tablas como la que se muestra a continuación:
Tabla 1. Factor de Lewis (Y)
Si no se tiene acceso a las tablas anteriores, se
puede emplear también las siguientes expresiones para el cálculo del
Factor de Lewis (Y), en función del ángulo de presión (α) de tallado del diente y del número de dientes (Z) del engranaje. Así,
• Para un ángulo de presión, α = 14º30' resulta:
2 · Z
|
||
Y =
|
||
15 · (Z + 10)
|
• Para un ángulo de presión, α = 20º resulta:
Z
|
||
Y =
|
||
7 · (Z + 8)
|
Por otro lado, la anterior expresión [2] que proporciona la fuerza tangencial (Ft)
transmitida al diente, está obtenida aplicando sólo la estática, es
decir, no tiene en cuenta los efectos dinámicos producidos durante el
movimiento de giro del engranaje.
En efecto, la velocidad de rotación del engranaje
introduce nuevas fuerzas ligadas a la inercia de las masas en
movimiento, que van a producir un incremento de la fuerza transmitida al
diente.
Para tener en cuenta este efecto se corrige la expresión [2] afectándola de un coeficiente Cs de mayoración de la carga, en función de la velocidad de giro (v) medida en la circunferencia primitiva (v = ω · r, donde ω es la velocidad angular de giro en rad/s, y r es el radio primitivo).
• Para v < 600 m/min:
180 + v
|
||
Cs =
|
||
180
|
• Para 600 < v < 1200 m/min:
360 + v
|
||
Cs =
|
||
360
|
• Para engranajes fabricados y montados con gran precisión:
43 + √v
|
||
Cs =
|
||
43
|
Por lo tanto, la expresión que proporcionaría la
fuerza transmitida al diente, considerando los efectos dinámicos,
quedaría de la siguiente forma:
Ft = σ · b · m · Y· Cs
Otro aspecto que todavía no se ha tenido en cuenta es
el efecto que sobre el nivel tensional interno del diente tiene la
entalladura practicada en la raíz del diente. En efecto, el efecto de la
entalladura produce una concentración de tensiones en la raíz del
diente que debe ser también tenida en cuenta.
Para tener en consideración este aspecto, la sociedad American Gear Manufacturers Association (AGMA) introduce un nuevo factor, J, o factor AGMA que se encuentra tabulado en función de factores geométricos y constructivos del diente (en concreto, a partir del adendo a, dedendo, del radio de acuerdo en la entalladura rf, y número de dientes.).
Por lo tanto, la expresión AGMA que proporcionaría la
fuerza transmitida al diente, considerando los efectos dinámicos y de
concentración de tensiones en la raíz, quedaría de la siguiente forma:
Ft = σ · b · m · J· Cs
Se adjunta, para su conocimiento algunas tablas tipo que proporcionan valores del factor AGMA, J.
Tabla 2. Factor Geométrico J de la AGMA
2.2- Resistencia a fatiga de la base del diente
Se entiende, que por la manera de trabajar de los
dientes de un engranaje, éstos van a estar sometido a unas cargas
fluctuantes y cíclicas en el tiempo que hagan que su agotamiento por
fatiga sea, en la mayoría de las ocasiones, la causa principal de fallo.
Estas cargas generan en la base del diente una concentración de
tensiones, tal como se muestra en la figura siguiente. La rotura por
fatiga de la base del diente es lo que se va a estudiar en este
apartado.
Figura 4. Distribución de tensiones en la base del diente
La manera de proceder para el cálculo de la resistencia por fatiga de los dientes de un engranaje sería la siguiente:
1º.- Se calcularía la tensión por fatiga a flexión (σ), según AGMA, originada en la base del diente.
2º.- Para el tipo de material empleado en la
fabricación del engranaje, su durabilidad exigida en tiempo de
funcionamiento, condiciones de trabajo y fiabilidad establecidas, se
calcula una tensión admisible (σadm).
3º.- De la comparación de ambas tensiones, se obtendría un coeficiente de seguridad (n), expresado como:
σadm
|
||
n =
|
||
σ
|
Se considera de buena práctica que el coeficiente de seguridad, n > 3. A continuación se explica cómo calcular las tensiones σ y σadm.
En primer lugar se procede a calcular la tensión por flexión (σ)
a fatiga del material originada por las condiciones de trabajo en la
base del diente. Para ello se suele emplear la siguiente expresión de
base empírica, según AGMA:
Ka · Km · Ks Ft
|
||
σ =
|
——————— · ————
|
|
Kv b · J · m
|
donde:
Ft es la fuerza tangencial transmitida al diente;
b es el ancho del diente;
m es el módulo del engranaje;
J es el factor AGMA, visto en el apartado 2.1 anterior;
Ka es el factor de aplicación;
Km es el factor de distribución de la carga sobre la cara del diente;
Ks es el factor de tamaño;
Kv es el factor dinámico.
A continuación se expone el método de calcular estos nuevos parámetros:
- Ka es el factor de aplicación:
El factor de aplicación (Ka), dependiendo del tipo de trabajo que desarrolle el engranaje, toma uno de los valores mostrados en la siguiente tabla:
FUENTE DE ENERGÍA
|
CARGA EN LA MÁQUINA IMPULSADA
|
||
Uniforme
|
Choque Moderado
|
Choque Fuerte
|
|
Uniforme
|
1,00
|
1,25
|
> 1,75
|
Choque Ligero
|
1,25
|
1,50
|
> 2,00
|
Choque Mediano
|
1,50
|
1,75
|
> 2,25
|
Tabla 3. Factor de aplicación (Ka)
- Km es el factor de distribución de la carga:
El factor de distribución de la carga (Km), dependiendo de la condición de soporte del engranaje y su anchura, toma uno de los valores mostrados en la siguiente tabla:
CONDICIÓN DE SOPORTE
|
ANCHO DE LA CARA, pulgadas (mm.)
|
|||
≤ 2 (50)
|
6 (150)
|
9 (225)
|
≥ 16 (400)
|
|
Montaje exacto, con bajas holguras en cojinetes, deflexiones mínimas. Engranajes de precisión.
|
1,30
|
1,40
|
1,50
|
1,80
|
Montajes menos rígidos, engranajes menos precisos, con contacto a todo lo ancho de la cara.
|
1,60
|
1,70
|
1,80
|
2,00
|
Exactitud y montaje de modo que exista contacto incompleto con la cara
|
> 2,00
|
|||
Tabla 4. Factor de distribución de la carga (Km)
- Ks es el factor de tamaño:
El factor de tamaño (Ks), tiene como
objetivo tener en cuenta de alguna manera una posible falta de
uniformidad en las propiedades del material del diente a lo largo de su
geometría.
No obstante, siempre que se realice una adecuada
elección del tipo de acero en función del tamaño del engranaje, del
tratamiento térmico y del proceso de templado o endurecimiento, AGMA
recomienda utilizar un factor de tamaño igual a la unidad. En caso
contrario, o que no haya seguridad al respecto, se debe emplear un
factor Ks > 1.
- Kv es el factor dinámico:
El factor de dinámico (Kv), dependiendo de la velocidad lineal en la línea de paso del engranaje, toma los valores mostrados en la siguiente tabla:
Tabla 5. Factor dinámico (Kv)
Una vez obtenido la tensión de flexión por fatiga a la
que trabaja el diente, el siguiente paso es determinar su máxima
tensión admisible (σadm) para comparación. Para el cálculo de la tensión admisible del engranaje (σadm) se emplea la siguiente expresión empírica, según AGMA:
ST · KL
|
||
σadm =
|
||
KT · KR
|
donde:
ST es la resistencia a flexión;
KL es el factor de duración;
KT es el factor de temperatura;
KR es el factor de fiabilidad.
- ST es la resistencia a flexión:
El valor de la resistencia a flexión del material (ST), se puede tomar de los valores mostrados en la siguiente tabla:
Tabla 6. Resistencia a flexión (ST)
- KL es el factor de duración:
El factor de duración (KL),
dependiendo del número de ciclos de la vida útil para la cual se diseñe
el engranaje, toma los valores mostrados en la siguiente tabla:
Tabla 7. Factor de duración (KL)
- KT es el factor de temperatura:
El factor de temperatura (KT), tiene
en cuenta la influencia que sobre la tensión admisible del material
tiene un aumento de la temperatura del aceite de lubricación que baña al
engranaje.
Para temperaturas de hasta 250 ºF (121 ºC) el factor
de temperatura es prácticamente igual a la unidad. Sólo cuando se
alcancen en el engranaje temperaturas superiores a este valor, debe
usarse la siguiente expresión para el cálculo de dicho factor:
460 + T
|
||
KT =
|
||
620
|
donde T es la temperatura pico de operación del aceite en grados Fahrenheit.
- KR es el factor de fiabilidad:
El factor de fiabilidad (KR), dependiendo del grado de fiabilidad que se le exija al sistema, toma los valores mostrados en la siguiente tabla:
Grado de Fiabilidad (%)
|
Factor KR
|
90
|
0,85
|
99
|
1,00
|
99,9
|
1,25
|
99,99
|
1,50
|
Tabla 8. Factor de fiabilidad (KR)
2.3- Resistencia por desgaste superficial (pitting)
La resistencia al desgaste o picado (pitting)
de la superficie de los dientes es otro de los factores que condiciona
el fallo de un engranaje. Los factores que influyen la resistencia al
desgaste son:
- El valor de la presión de contacto entre dientes o también llamada presión de Hertz;
- Número de ciclos del régimen de trabajo a que está sometido el engranaje;
- Grado de acabado superficial del engranaje;
- Dureza de la cara del diente;
- Tipo de lubricación empleada.
Como en el caso anterior, la manera de proceder para
el cálculo de la seguridad del engranaje frente al fallo por desgaste
superficial o picado del diente, sería el siguiente:
1º.- Se calcularía la tensión por contacto (σC), según AGMA, a que está sometido el engranaje para las condiciones de trabajo dadas.
2º.- Para el tipo de material empleado en la
fabricación del engranaje, su durabilidad deseada, condiciones de
trabajo y fiabilidad establecidas, se calcula su tensión de contacto
admisible (σC,adm).
3º.- De la comparación de ambas tensiones, se obtendría un coeficiente de seguridad (n), da valor:
σC,adm
|
||
n =
|
||
σC
|
Se considera de buena práctica que el coeficiente de seguridad, n > 3. A continuación se explica cómo proceder para el cálculo de ambas tensiones.
Se comienza en primer lugar por calcular la tensión por contacto (σC)
a que está sometido el engranaje para las condiciones de trabajo. Para
ello se suele emplear la siguiente expresión de base empírica, según
AGMA:
CA · CM · CS · CF Ft
|
||
σC = CP · [
|
———————— · ————— ] 1/2
|
|
Cv b · dp · I
|
donde:
Ft es la fuerza tangencial transmitida al diente;
b es el ancho del diente;
I es el factor geométrico para el esfuerzo de contacto;
CP es el coeficiente elástico;
CA es el factor de aplicación para el esfuerzo de contacto;
CM es el factor de distribución de la carga;
CS es el factor de tamaño para el esfuerzo de contacto;
CF es el factor de estado o condición de la superficie.
A continuación se expone la forma de asignar los valores a estos nuevos parámetros:
- CA es el factor de aplicación para el esfuerzo de contacto:
El factor de aplicación (CA), dependiendo del tipo de trabajo que desarrolle el engranaje, toma uno de los valores mostrados en la siguiente tabla:
FUENTE DE ENERGÍA
|
CARGA EN LA MÁQUINA IMPULSADA
|
||
Uniforme
|
Choque Moderado
|
Choque Fuerte
|
|
Uniforme
|
1,00
|
1,25
|
> 1,75
|
Choque Ligero
|
1,25
|
1,50
|
> 2,00
|
Choque Mediano
|
1,50
|
1,75
|
> 2,25
|
Tabla 9. Factor de aplicación (CA)
- CP es el coeficiente elástico:
El coeficiente elástico (CP), en función del tipo de material de las ruedas engranadas, toma uno de los valores mostrados en la siguiente tabla:
Tabla 10. Coeficiente elástico (CP)
- CM es el factor de distribución de la carga:
El factor de distribución de la carga (CM), dependiendo de la condición de soporte del engranaje y su anchura, toma uno de los valores mostrados en la siguiente tabla:
CONDICIÓN DE SOPORTE
|
ANCHO DE LA CARA, pulgadas (mm.)
|
|||
≤ 2 (50)
|
6 (150)
|
9 (225)
|
≥ 16 (400)
|
|
Montaje exacto, con bajas holguras en cojinetes, deflexiones mínimas. Engranajes de precisión.
|
1,30
|
1,40
|
1,50
|
1,80
|
Montajes menos rígidos, engranajes menos precisos, con contacto a todo lo ancho de la cara.
|
1,60
|
1,70
|
1,80
|
2,00
|
Exactitud y montaje de modo que exista contacto incompleto con la cara
|
> 2,00
|
|||
Tabla 11. Factor de distribución de la carga (CM)
- CS es el factor de tamaño:
El factor de tamaño (CS), tiene como
objetivo tener en cuenta de alguna manera una posible falta de
uniformidad en las propiedades del material del diente a lo largo de su
geometría.
No obstante, siempre que se realice una adecuada
elección del tipo de acero en función del tamaño del engranaje, del
tratamiento térmico y del proceso de templado o endurecimiento, AGMA
recomienda utilizar un factor de tamaño igual a la unidad. En caso
contrario, o que no haya seguridad al respecto, se debe emplear un
factor CS > 1.
- CF es el factor de estado o condición de la superficie:
El factor de estado de la superficie (CF),
tiene en cuenta la posibilidad que existan defectos externos en la
superficie del engranaje. Como valores que sirvan de referencia se
pueden emplear los siguientes:
• Defectos de acabado en la superficie: CF = 1,25;
• Presencia de esfuerzos residuales: CF = 1,25;
• Combinación de ambos: CF = 1,50;
- I es el factor geométrico:
El factor geométrico (I) se calcula a partir de la siguiente expresión:
sen(α) · cos(α) i
|
||
I =
|
——————— · ————
|
|
2 · mn i + 1
|
donde,
α es el ángulo de presión de engrane
i es la relación de transmisión del engrane.
A continuación se pasa a determinar la tensión de contacto admisible (σC,adm), empleándose para ello la siguiente expresión empírica, según AGMA:
SC · CL · CH
|
||
σC,adm =
|
||
CT · CR
|
donde:
SC es la resistencia a la fatiga superficial, AGMA;
CL es el factor de duración;
CH es el factor de dureza;
CT es el factor de temperatura;
CR es el factor de fiabilidad.
- SC es la resistencia a la fatiga superficial:
Para conocer el valor de la resistencia a la fatiga superficial (SC),
AGMA ha publicado valores de algunos materiales empleados en la
construcción de engranajes, según se puede consultar en las siguiente
tablas:
Tabla 12. Resistencia a la fatiga superficial AGMA de diversos materiales (SC)
Tabla 13. Resistencia a la fatiga superficial AGMA para los aceros (SC)
- CL es el factor de duración:
El factor de duración (CL),
dependiendo del número de ciclos de la vida útil para la cual se diseñe
el engranaje, toma los valores mostrados en la siguiente tabla:
Tabla 14. Factor de duración (CL)
- CH es el factor de dureza:
El factor de dureza (CH),
dependiendo del número de ciclos de la vida útil para la cual se diseñe
el engranaje, toma los valores mostrados en la siguiente tabla:
Tabla 15. Factor de dureza (CH)
- CT es el factor de temperatura:
El factor de temperatura (CT), tiene
en cuenta la influencia que sobre la tensión admisible del material
tiene un aumento de la temperatura del aceite de lubricación que baña al
engranaje.
Para temperaturas de hasta 250 ºF (121 ºC) el factor
de temperatura es prácticamente igual a la unidad. Sólo cuando se
alcancen en el engranaje temperaturas superiores a este valor, debe
usarse la siguiente expresión para el cálculo de dicho factor:
460 + T
|
||
CT =
|
||
620
|
donde T es la temperatura pico de operación del aceite en grados Fahrenheit.
- CR es el factor de fiabilidad:
El factor de fiabilidad (CR), dependiendo del grado de fiabilidad que se le exija al sistema, toma los valores mostrados en la siguiente tabla:
Grado de Fiabilidad (%)
|
Factor CR
|
90
|
0,85
|
99
|
1,00
|
99,9
|
1,25
|
99,99
|
1,50
|
Tabla 16. Factor de fiabilidad (CR)
No hay comentarios:
Publicar un comentario